Só falta testar

Morfologia Matemática para imagens em tons de cinza

Posted on: 06/01/2010

Morfologia Matemática, originalmente desenvolvida em 1964 por Georges Matheron e Jean Serra na École des Mines de Paris, é uma ferramenta que se concentra nas estruturas geométricas da imagem para extração de componentes que são úteis para representação e descrição da forma de uma região, como fronteiras e esqueletos. Algumas operações matemáticas podem ser aplicadas a conjuntos de pixels a fim de intensificar aspectos das formas tal que eles possam ser contados ou reconhecidos [1].

Esta técnica, baseada na teoria dos conjuntos, oferece uma abordagem unificada e poderosa para inúmeros problemas de processamento de imagens [2]. Os conjuntos em Morfologia Matemática representam as formas dos objetos em uma imagem.  Por exemplo, o conjunto de todos os pixels pretos em uma imagem binária é uma descrição completa dessa imagem.

As operações na Morfologia Matemática são realizadas através de operadores elementares tais como a dilatação e a erosão.  As técnicas morfológicas para pré e pós-processamento, como filtragem morfológica, afinamento e poda (“pruning”) também são muito exploradas atualmente [3].

Elemento Estruturante

O elemento estruturante é um conjunto definido e conhecido (forma e tamanho), que é comparado, a partir de uma transformação, ao conjunto desconhecido da imagem.  Pode assumir várias formas e sua origem pode ser definida em qualquer ponto [3]. Para o caso de processamento de imagens em tons de cinza, os elementos do elemento estruturante podem assumir valores entre 0 e 255. A figura abaixo exemplifica algumas configurações de elementos estruturantes. Vale ressaltar que não necessariamente o elemento estruturante é uma matriz retangular ou quadrada.



Figura 1. Exemplo de elementos estruturantes: (a) em coluna, (b) em linha, (c) em cruz, (d) quadrado.

Morfologia para imagens em tons de cinza

As imagens em nível de cinza são consideradas como conjuntos tridimensionais nos quais os operadores morfológicos podem ser aplicados. Nesse caso, dois componentes de cada elemento do conjunto se referem às coordenadas do pixel, enquanto o terceiro corresponde ao valor discreto de intensidade.

No contexto de imagens com essa característica (níveis de cinza) as funções são descritas na forma f(x,y) para a imagem de entrada e b(x,y) para o elemento estruturante. A suposição é que estas funções são discretas, isto é, se Z denota o conjunto de inteiros reais, a hipótese é que (x,y) são inteiros de  ZxZ e que f e b são funções que assumem um valor representando o nível de cinza para cada par de coordenadas distintos (x,y) [2].

Dilatação para imagens em tons de cinza

Utilizando um elemento estruturante onde todos os valores são positivos para efetuar uma dilatação numa imagem em níveis de cinza, obtém-se como imagem resultante uma imagem com detalhes escuros atenuados e detalhes claros acentuados. A operação de dilatação em tons de cinza fornece como saída uma imagem com as mesmas dimensões da imagem de entrada e pixels com valores de 0 a 255, para o caso de uma imagem original com 256 níveis de cinza.

Isso significa que o algoritmo para aplicação de dilatação em imagens em tons de cinza segue os seguintes passos:

  1. O elemento estrutural é posicionado no início da imagem a ser aplicada a dilatação;
  2. É feita a comparação da soma das intensidades dos pixels da imagem original com as intensidades dos pixels correspondentes da matriz do elemento estruturante;
  3. O pixel correspondente da imagem de saída terá a intensidade da maior soma desta comparação. Caso a maior soma ultrapassar 255 o valor assumido para a intensidade do pixel correspondente será 255.
  4. A matriz do elemento estruturante é posicionada no elemento seguinte da matriz que representa a imagem original, retornando-se ao passo de número 2. Caso o último elemento da matriz da imagem original já tenha sido visitado pela matriz do elemento estruturante, o processo de dilatação está concluído.

A figura 2 ilustra a execução do algoritmo de dilatação utilizando um elemento estruturante de dimensões 3×3. A matriz do elemento estruturante está posicionada “sobre” a imagem original sendo realizada a comparação da soma das intensidades dos pixels das duas matrizes.

Figura 2. Aplicando-se dilatação numa imagem utilizando uma matriz 3×3 como elemento estruturante

Podemos observar na figura 3 que, se o elemento estruturante tem um valor uniforme, ou seja, todos os pontos do elemento que estão ligados possuem a mesma intensidade, então esta operação é equivalente a tomar o valor máximo da região da imagem definida pelo elemento estruturante somado a este valor uniforme do elemento estruturante [3].

Figura 3. Exemplo de dilatação em tons de cinza: (a) imagem original, (b) elemento estruturante em cruz com origem no centro e (c) imagem resultante da dilatação de (a) por (b)

As imagens da figura 4 são um exemplo da aplicação da dilatação sobre uma imagem em tons de cinza, utilizando uma matriz quadrada  como elemento estruturante.

Figura 4. Exemplo de dilatação em tons de cinza em imagens. (a) Indica a imagem original e (b) imagem dilatada.

Erosão para imagens em tons de cinza

A imagem resultante da aplicação de uma Erosão não somente aparentará ser mais clara que a original, mas os tamanhos das áreas mais escuras serão reduzidos.

Isso significa que o algoritmo para aplicação de erosão em imagens em tons de cinza segue os seguintes passos:

  1. O elemento estrutural é posicionado no início da imagem a ser aplicada a dilatação;
  2. É feita a comparação da subtração das intensidades dos pixels da imagem original com as intensidades dos pixels correspondentes da matriz do elemento estruturante;
  3. O pixel correspondente da imagem de saída terá a intensidade da menor subtração desta comparação. Caso a menor subtração seja menor que 0 (zero) o valor assumido para a intensidade do pixel correspondente será 0 (zero).
  4. A matriz do elemento estruturante é posicionada no elemento seguinte da matriz que representa a imagem original, retornando-se ao passo de número 2. Caso o último elemento da matriz da imagem original já tenha sido visitado pela matriz do elemento estruturante, o processo de erosão está concluído.

Podemos observar na figura 5 que, se o elemento estruturante tem um valor uniforme, ou seja, todos os pontos do elemento que estão ligados possuem a mesma intensidade, então esta operação é equivalente a tomar o valor mínimo da região da imagem definida pelo elemento estruturante subtraído do valor uniforme do elemento estruturante [3].

Figura 5. Exemplo de erosão em tons de cinza: (a) imagem original, (b) elemento estruturante em cruz com origem no centro e (c) imagem resultante da erosão de (a) por (b).

As imagens da figura 6 é um exemplo da aplicação da erosão sobre uma imagem em tons de cinza, utilizando uma matriz quadrada 5×5 como elemento estruturante.

Figura 6. Exemplo de erosão em tons de cinza. (a) Indica a imagem original e (b) imagem erodida.

Abertura para imagens em tons de cinza

A operação de abertura de uma imagem é simplesmente a erosão de f por b, seguido por uma dilatação do resultado por b [2]. A figura 7 nos mostra um exemplo de aplicação de abertura em uma imagem em tons de cinza. Essa operação elimina as protuberâncias da imagem de forma mais suave que a erosão.

Figura 7. Resultado da operação de abertura sobre uma imagem em tons de cinza por elemento estruturante 5×5 em forma de quadrado com intensidade 1 e origem no centro: (a) imagem original e (b) imagem resultante após a aplicação de abertura.

Espectro de Padrões

O Espectro de Padrões obtém o histograma da distribuição dos tamanhos dos vários objetos que compõem a imagem. Os parâmetros obtidos a partir deste espectro permitem desenvolver uma análise quantitativa do conteúdo da imagem.

Se for aplicada uma abertura numa imagem utilizando-se um elemento estruturante B, alguns elementos devem desaparecer na nova imagem obtida. Se for aplicada a mesma operação morfológica (abertura) usando desta vez um elemento estruturante maior, então mais elementos na imagem na imagem original A vão desaparecer.

O gráfico resultante do número de pixels eliminados versus o tamanho do elemento estruturante é chamado de Espectro de Padrões ou Curva Granulométrica [10].

O Espectro de Padrões para imagens em tons de cinza é criado como a seguir:

  1. Aplicar uma Abertura na imagem com um elemento estruturante adequado;
  2. Somar todos os valores em escala de cinza para todos os pixels da imagem obtida e dividir pela soma de todos os valores dos pixels da imagem original, obtendo assim Φ;
  3. Calcular 1-Φ e colocar o valor da diferença no n-ésimo elemento do vetor que representa a distribuição acumulada (começando pelo índice zero);
  4. Calcular o valor da diferença entre o n-ésimo elemento da distribuição acumulada e o valor do n-ésimo -1 elemento da distribuição acumulada, e inserir o valor encontrado no n-ésimo elemento do vetor que representa o Espectro de Padrões;
  5. Repetir os passos 1 a 4 com a imagem resultante da aplicação da abertura como sendo a nova imagem original  (n incrementa de 1).

Um exemplo: Figura 8 mostra o Espectro de Padrões da primeira imagem na série de imagens da figura 9. Nesta figura é possível ver os resíduos depois de uma operação morfológica de Abertura. Inicialmente, os menores objetos são eliminados, para só então os maiores.

Figura 8. O Espectro de Padrões da imagem original da figura 12 com Abertura com elemento estruturante em forma de disco com raio 5.

Figura 9. Os resíduos após uma série de aplicações consecutivas da operação morfológica de Abertura na imagem.

Referências:

[1] MELLO, C.A.B. Morfologia Matemática,  Notas  de  aula  na  Graduação  em Engenharia da Computação – UPE, Poli, DSC, 2008.

[2] GONZALES, R.C.; WOODS R.E. Digital Image Processing, Addison-Wesley, 1992.

[3] VIEIRA, E.A.; MELO, R.H.C. Granulometria: Uma Aplicação para Contagem e Medição de Grãos em Imagens Digitais,  Monografia apresentada ao Departamento de Ciência da Computação da Universidade Federal Fluminense, 2004.

Anúncios

2 Respostas to "Morfologia Matemática para imagens em tons de cinza"

As cores hot trends continuam sendo neons!!!

Sai dessa de cinza cara!!!

Estarei churrascaneano por aí!!!

muito bom o artigo. me ajudou bastante.
obrigado,
pedro

Deixe um comentário

Preencha os seus dados abaixo ou clique em um ícone para log in:

Logotipo do WordPress.com

Você está comentando utilizando sua conta WordPress.com. Sair / Alterar )

Imagem do Twitter

Você está comentando utilizando sua conta Twitter. Sair / Alterar )

Foto do Facebook

Você está comentando utilizando sua conta Facebook. Sair / Alterar )

Foto do Google+

Você está comentando utilizando sua conta Google+. Sair / Alterar )

Conectando a %s


  • Rafaella: Copiando um comentário do youtube: "If you're drunk and vomit in this toilet....You might press the wrong buttons on the remote control...The toil
  • Rafaella: Só faltou tu colocar o link das tuas corridas :) Consegui achar teu usuário no site do Endomondo, mas ele não dá as informações, fica em branco.
  • Priscila Santana: Uma otima ideia. Se transitar de bicicleta em Jaboatao nao fosse tao arriscado, eu aderia a ideia. Mas dou todo apoio! :)
%d blogueiros gostam disto: